Factorisation d'un polynôme (1) - Corrigé

Énoncé

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(P(z) = 2z^3 -8z^2 +z -4\) .

1. Montrer que \(4\) est racine de \(P\) .

2. En déduire une factorisation de \(P\) .

Solution

1. \(P(4)=2 \times 4^3 - 8 \times 4^2 + 4 -4 = 0\) donc \(4\) est racine de \(P\) .

2. Méthode 1

\(P\) est de degré \(3\) et \(4\) est racine de \(P\) . Soit donc \(a, b\) et \(c\) des réels tels que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z-4)(az^2+bz+c)\) .

On a pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \((z-4)(az^2+bz+c) = az^3+ bz^2 + cz -4az^2 -4bz -4c = az^3 +(b-4a)z^2 + (c-4b)z - 4c\)

Donc pour que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z-4)(az^2+bz+c)\) , il suffit (et il faut) que :
\(\begin{cases}a = 2 \\b-4a = -8 \\c-4b = 1 \\-4c = -4\end{cases}\)

Or, \(\begin{cases}a = 2 \\b-4a = -8 \\c-4b = 1 \\-4c = -4\end{cases}\iff\begin{cases}a = 2 \\b = -8+4a \\4b = c-1 \\c = 1\end{cases}\iff\begin{cases}a = 2 \\b = 0 \\c = 1\end{cases}\) .

On a donc \(P(z) = (z-4)(2z^2 +1)\) .

Méthode 2

On adapte la présentation de la division euclidienne pour les entiers :

On a donc  \(2z^3 - 8z^2 +z -4 = (z-4)(2z^2+1)\) ,
donc  \(P(z) = (z-4)(2z^2+1)\) .